最近十年來，我花了不少工夫，在清華大學聘請了一批世界一流學者。我很高興地看到，中國的數學和基礎科學水平蒸蒸日上，有了很大發(fā)展。

今天的講座，我要說的是一件很重要的事，我始終希望能跟我的同事、學生們分享，這就是中國數學和基礎科學的前路到底該怎么走。

我們要走的是一個能夠帶領全世界數學和基礎科學走向的方向，這才算得上世界第一流。假如做學問都是跟著人家后面走，那是不能解決重要問題的。目前遇到的所謂“卡脖子”的問題，也是因為在很多重要問題上，還是跟著別人走。因此今天我想跟大家具體討論，什么是第一流的學問，特別是第一流的學問在數學領域如何產生。

何為“學”，何為“問”

首先，學問有兩個部分，一個是“學”，一個是“問”?？鬃诱f：“學而不思則罔，思而不學則殆。”思考其實就是問。我們中國人擅長考試，學習別人提出來的各種方法和技巧，磨煉得很熟。但如果僅僅是善于答題，那么對科學的發(fā)展，貢獻并不多。目前，我們雖然不斷地獲得奧數比賽金牌，但是尚未出現(xiàn)一大批解決偉大數學問題的學者。因此，一定要曉得到底如何做學問，如何做一流的學問。

其次，做學問需要勤奮。沒有基本工具，只靠思考是沒有用的?？鬃诱f“思而不學則殆”，就是說只思考不學習是遠遠不夠的。數學科學發(fā)展至今已經有兩千五百多年的歷史，先后涌現(xiàn)出了許多天才數學家。從歐幾里得、畢達哥拉斯、阿基米德，到后來的費馬、笛卡爾、牛頓、高斯、歐拉、拉格朗日、黎曼、希爾伯特等，一層一層將數學這幢大廈搭建得越來越高。無論我們天分多好、多么擅長思考，我們的學問、創(chuàng)造力都必須以他們的學問為基礎。微積分就是從阿基米德那個時候慢慢發(fā)展，最終由牛頓、萊布尼茨完成。這個過程是沒辦法跳躍的，每一步都必須建立在前人學問的基礎上。牛頓曾說：“如果說我看得比別人更遠些,那是因為我站在巨人的肩膀上。”這不是謙虛，他的工作就是在前人的基礎上做出來的。今天，我們要帶領世界學問的潮流，非將前人的學問學好不可，而在這個過程中，勤奮絕對重要。

為什么要提出問題

“尋天人樂處，拓萬古心胸”，這是清華大學求真書院的院訓。究其根源，我們所做的學問，尤其科學和數學，都是與大自然密切關聯(lián)的。我們要在追尋大自然奧秘的過程中，找到它最有意義、最有樂趣之處。假如我們不了解、不欣賞大自然的奧秘與樂趣，學問是始終做不好的，這就是“尋天人樂處”。“拓萬古心胸”則是說，做學問不只是為了拿獎、做院士，而是希望所作的學問能夠在科學史上留下重要的軌跡。《詩經》《楚辭》以及李白、杜甫的詩歌，過了上千年，讀起來還是饒有意趣，這是因為他們對大自然的美、對人世喜怒哀樂的描述，讓人至今都覺得親切自然，這就是我說的“天人樂處”。我們做的學問也要引起后代的共鳴，讓他們曉得我們今天開創(chuàng)的方向、發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有怎樣的重要意義。

我們要考慮整個學問向前走的方向到底是什么，應該如何去認識數學的內在結構，這是許多大數學家常常思考的問題。大學問家往往會提出很多問題。如果不提出自己原創(chuàng)的問題，更多的是解答別人的問題，這不見得是數學和科學的真髓。我以為，重要的是要找出自己的方向?！抖Y記·學記》說：“善待問者如撞鐘,叩之以小者則小鳴,叩之以大者則大鳴。”這里撞的“鐘”，就是大自然和萬物運行的規(guī)律。深入的問題能夠指向大自然奧秘的深處，很快幫助我們引出其他有意義的相關問題。

由希爾伯特23問說開去

希爾伯特23問是數學歷史上一個非常重要的問題集。1900年8月8日，德國數學家希爾伯特做了題為《數學問題》的演講。他認為，從19世紀進入20世紀，數學家們提出一些重要的問題，對于推動學科進步的作用毋庸置疑。他說，一個學科能夠產生大量重要問題，才能保持活力。這23個問題，基本上可以說引領了數學界后來50年的發(fā)展。當然這23個問題不是全部由他提出的，也包括從前大數學家的問題，比如黎曼等。這些問題迄今未全部解決，但其中部分問題的解決，已經促進了數學學科的重要發(fā)展。

1978年，我在普林斯頓高等研究院組織幾何年特別會議——微分幾何論壇，帶領一批數學家、幾何學家研究幾何方面主要的方向。會議最后幾周，我徇眾要求，提出了120個幾何方面最重要的問題。雖然我提出的問題無法跟希爾伯特23問相提并論，但還是很有意義的——對當時幾何學遇到的困難主要在什么地方進行思考、指出學科向前走的方向，以及解決后會產生什么重要的結果和影響。從短期來說，一些好的問題可能不會立即產生很大影響，還需要我們花時間去消化、去思考。但是，這些問題一經提出，往往會影響到數學中某些學科的方向。我提出的120問促成了一個重要學科“幾何分析”的發(fā)端。

當時提出的這些問題，目前已經有大概三分之一被解決，大部分都是正面的解決，基本印證了猜想的方向是重要的、是正確的，很多數學家在解決這些問題方面也得到了很好的結果。

好的問題是什么樣的

好的問題讓人豁然開朗。思考這個問題本身，能發(fā)展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個問題的過程都很重要。好的問題通常是簡潔、漂亮的。解決了它，其所在領域里許多問題可能都會隨之解決，就像在長江里面有一塊巨石，將巨石挪開，水流就會頓時變得順暢。

能否聽出鼓的面積？

我要舉例的第一個問題，是關于聲音和幾何的關系。

古希臘時代，人類就認識到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓，敲擊會產生不同頻率的波動，發(fā)出聲音。波動由多個基本波組合而來，對應各個基本音級。每個基本波有固定的頻率，頻率則可由鼓的譜計算得到。波動會產生很漂亮的圖形，幾何學家十分重視。

著名的幾何學家博赫納（Salomon Bochner）提過的一個問題：我們可否聽出鼓的形狀？這一問題的思想可以追溯至1910年。當時，量子力學剛萌芽，物理學家洛倫茲（H.A. Lorentz）提出：是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積？希爾伯特對這個有趣的問題很感興趣，但認為它太難，有生之年，不可能看到它的解決。但過了一年后，希爾伯特的學生外爾(Hermann Weyl)就把問題解決了。外爾認為，譜越來越高，按照量子力學的觀念，即譜的觀念，可以推測到局部的幾何變化，從而推導出外爾方程。這是個很重要的方程，對今天的數學仍然有重要的影響。外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉花了很多工夫研究在k為正數時，1/nk的和，發(fā)展出重要的泛函方程。黎曼將其推廣，寫下了著名的黎曼ζ函數。這個劃時代的工作,影響了數論的發(fā)展。外爾又推廣了黎曼ζ函數的思想到一般的空間，用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題，并最終解決。

能否聽出鼓的面積——這個問題由洛倫茲從物理現(xiàn)象出發(fā)，提出問題，最終由外爾解決。這個問題簡潔、自然且有趣，而其解決問題的方法最終引發(fā)了幾何學上不少重要的進展。

譜可以視為幾何圖形的量子訊息，事實上可以得到量子訊息和幾何的關系。譜向無窮增大時, 得到局部的幾何訊息，包括曲率、面積元等;譜小時，得到幾何的拓撲或是宏觀訊息。幾何學家對幾何圖形最小的譜也有濃厚的興趣。

關于極小曲面的猜想

我們生活中可以看到很多極小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，將鐵線放在水中提拉出來，形成的薄薄的肥皂膜，就是極小曲面。而在實驗中，我們可以構造更多不同形象的極小曲面。幾何學家熱衷于了解它們的性質。1977年，我提出一個問題：如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面？經過40年的努力，我的同學米克斯（William Hamilton Meeks III）已經基本解決了這個問題。

我的第二個猜想更困難，到現(xiàn)在還沒全部解決。我提出，可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面？我的朋友勞森（Herbert Blaine Lawson，Jr.）構造出一些有趣的例子，被稱作勞森曲面（Lawson Surface）。假如將這個曲面放在四維空間的單位球里，然后從圓心取直線和這個曲面的每一個點聯(lián)結起來可得到一個三維錐，即一個三維極小流形。這后來成為廣義相對論中描述時空的重要工具。我解決的另一個重要問題——廣義相對論中的正質量猜想，簡單來說，主要方法就是研究肥皂泡在時空引力下如何變化。

如果把極小流形當作一個鼓面，敲擊后得到一個譜，那么最小的譜等于多少？1974年，我提出，三維球中的極小曲面第一個譜λ1等于2。我與很多朋友討論，他們都被這奇妙的猜測嚇了一跳，卡拉比先生認為我很有洞察力。幾年后，有兩位個數學家證明了三維球中的極小曲面最小的譜在1和2中間，這個答案已經在極小曲面的研究中很有用了。

數學中的“賦比興”

完成上述猜想的過程中，我的基本方法是，比較兩個完全不同的觀念,一個是幾何的觀念，一個是量子力學的觀念，最終得出曲面最小的譜等于2，當然還有待嚴格的證明。

數學是很奇妙的學問，它是一個講推理、講規(guī)則的學問，通過比較不同的規(guī)則和思想，就可以得到有意義的猜想，這其實是數學研究中的慣用手法。

這與詩經里講究的“賦比興”也有著密切的關系。所謂“比”，即用不同的景物類比，比如楊柳代表離別或者美人的腰肢。講起離別，不免想起《詩經》中的“昔我往矣,楊柳依依”，周邦彥筆下“長條故惹行客。似牽衣待話，別情無極”，以及柳永的名句“楊柳岸，曉風殘月”，而說到美人的腰肢，則憶起張先的“細看諸處好。人人道，柳腰身”，這都是緣于柳條細而柔所作的類比,更有溫庭筠的“柳絲長，春雨細，花外漏聲迢遞”、周邦彥描寫的“長亭路，年去歲來，應折柔條過千尺”……

種種不同的比較，是數學中常用的手段。數學研究者們應該考慮這個思路，不能只做題目，不能看到數字就是數字、看到方程就是方程，它們中間其實是有很多可以比較、可以關聯(lián)之處的。

好問題從何而來

好問題從什么地方來，怎樣才能解決它？首先要了解不同的觀點。歷史上，很多大學問的完成，往往是不同學問之間碰撞產生的火花促成的。比如前面提到的外爾，他是一個偉大的數學家，也是一個偉大的物理學家，他在量子力學和幾何學之間搭建了一座橋梁。而因這座橋梁，也孕育出一批很好的數學家，和一個全新的探究路徑。所以我認為，找到自己的方向，是提出好問題的重要途徑。

另外，要解決一個大問題時，往往要有很好的工具。工具的發(fā)展是不斷精益求精的過程，每個新工具又促進學問繼續(xù)發(fā)展。新工具讓我們看到不同現(xiàn)象，提升我們看待問題的深度，促發(fā)我們進一步發(fā)展工具。工具越多，越能產生更深刻的、更有效的解決問題的方法。每一次工具的進步，都能帶動有意義的、重要的、突破性的學問的發(fā)展。

在伽利略時代，他觀測到地球是太陽系里的恒星，引發(fā)了牛頓力學的發(fā)展。此后，人類看得更遠。到了20世紀初期，我們了解到太陽系外還有銀河系，以及不同的星云。每一次跳躍都是伴隨著“望遠鏡”這個工具的不斷發(fā)展。數學上也同樣如此。

比如費馬猜想距今已經有300多年的歷史。30年前，英國大數學家懷爾斯（Andrew Wiles）才解決了這個問題。在他之前，幾百年來，大數學家們都有興趣來解決這個問題。費馬和歐拉解決了n=3時的情形，使用了橢圓曲線的方法。19世紀，德國數學家?guī)炷瑺枺‥rnst Kummer）,以為自己可以解決費馬問題，雖然沒有成功，但他引入了代數中的重要概念，即理想(ideal)，從而帶動一大批其他問題的解決。到了20世紀，出現(xiàn)了更多不同的方法，其中一個是由日本數學家谷山豐（Yutaka Taniyama)、志村五郎(Goro Shimura)，以及法國大數學家韋伊（Andre Weil）提出的谷山-韋伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura Conjecture)，成為解決費馬猜想的重要工具，最終由懷爾斯解決了這個300余年的題目。

欣賞數學之美的同時，要欣賞數學美與真背后的規(guī)律，通過不斷比較，提出重要的、具有開創(chuàng)性的問題。一個學科重要的問題，必須在不斷學習中，才能慢慢體會。

何為偉大的工作

偉大的數學家都有一套自己對學問的看法（Philosophy），這些系統(tǒng)的、深邃的、嶄新的觀點給古老的數學注入新的活力，產生一系列有意義的問題。正如西方戲劇《浮士德》、中國古典名著《紅樓夢》一樣，都是由不同部分組成，每個部分又自成一格，但無論是牡丹還是綠葉，終須大師提綱挈領，方可將零散的部分組合一番，最終形成一幅瑰麗的圖畫。

我們也要創(chuàng)立一個這樣的綱領。在這綱領的指引下，將各個不同的學科分支放在一起，最終構建出一座宏偉的大廈。

當然，要完成這種宏觀的看法，并非一人一時之工、一人一時之問，有時長達一個世紀，方才看得出這些綱領的威力。

1854年，黎曼給出了幾何學的一個綱領。他通過物理學的等價原理建造了嶄新的內蘊幾何，完成了廣義相對論的重要部分。二十世紀初期，外爾開發(fā)李群的表示理論和規(guī)范場理論，成為現(xiàn)代理論物理的基礎。韋伊則在上世紀定下用代數幾何作為工具硏究數學的方向，完成了數學歷史上一個偉大猜想——Weil猜想。我的朋友朗蘭茲（Robert Langlands）五十多年前提出著名的Langlands綱領，用群表示理論研究數學，產生了一大批重要的方向和問題。這些工作可謂大氣磅礴。

凡是偉大的工作，都是飽讀文獻、“望盡天涯路”得來的結果。我在20世紀70年代開創(chuàng)現(xiàn)代幾何分析時，主要的信念是用函數和定義的微分方程來描述空間，又通過幾何來了解函數和微分方程。

好問題的幾個特征

數學與文學有相通之處。文學用簡潔的語言描述我們看到的現(xiàn)象。數學也喜歡簡潔。一般來講，假如命題不夠簡潔，則難以深入，當然，深入的問題也不一定很簡潔?？偟膩碚f，一個好的數學問題，要有深度、簡潔、漂亮、有趣。

什么叫深度？深度就是解決一個問題后，可以引領新的方向，看到更深遠的圖景。

什么是簡潔、漂亮？在數學上，大自然的美景可以通過很簡單的方程解釋清楚。牛頓的方程、愛因斯坦方程、狄拉克方程，都是極簡潔的，總結了大自然之中很多漂亮的現(xiàn)象，包含了大自然的奧秘。文學用很簡單的語言描述大自然的景色，讓我們產生心理的共鳴。好的數學，也能在我們心里產生共鳴。當年，我聽到卡拉比的講話后，產生很大的震撼。我覺得如果能夠了解他提出的猜想，我將解決數學里一大片問題。

第一流的問題一定要有深度，同時本身很漂亮，很有意義，讓人很有興趣。比如龐加萊猜想、費馬問題、卡拉比猜想等，都是有深度、有趣味、很簡潔的大問題，是一流的問題。

研究數學在于研究數學的深度、意義和內容。幾十年來，我們看到，有些重要的問題被解決了，最出名的是四色問題（Four color problem），即一張地圖只需四種顏色標記就足夠。其解決的最后幾步，是通過計算機完成的。但我們對這個問題本身的意義，其組合意義、幾何意義，還沒有深入了解。在我看來，這個問題其實沒有全部解決，希望以后能夠更深入地了解它?，F(xiàn)在很多數學問題，尤其是應用數學，都是計算機算出來的，有時候可能是對的，有時候可能是不對的。這其中最大的問題是，我們對問題的結構、對整個學問的結構并不了解，這些尚不能算是第一流的答案，也不可能在工業(yè)界產生引領風騷的一流技術。

對于一些問題來說，趣味性比深度更大。我也做過類似的問題，比如我48年前完成的一篇小文章，證明了一個空間，曲率大于0時，只要不是緊致的，其體積無窮大。雖然不算是個很有深度的問題，“雖小道，必有可觀者焉”。問題只要有趣味，都可以算是一個好問題。

提高找出重要問題的能力

我們希望學生有視野、要用功、要發(fā)問，這是很重要的訓練。有視野很重要，跑到高山上以更廣闊的視野看世界。如果沒有工具，就只能遠望，因此掌握工具也很重要。20世紀70年代，我為了解決不同的問題，讀了很多書，包括量子力學、幾何等等，從中獲得了工具,得出了重要的成果。這里我也希望大家做學問的時候，一定要一步一步扎實地走。提出問題是一個最重要的步驟，提出問題之后還要能夠解決它，就算不能解決，也要探索出新的工具、新的方向。

我認為，今天的中國基礎科學想要發(fā)展，最主要的是提出問題。我們要培養(yǎng)現(xiàn)在的年輕人，幫助他們提高找出重要問題的能力。問一個有意思的問題，同時解決它，假如解決的方法是前人沒有走過的路，這個過程令人滿足，比成為世界上最富有的人還令人高興。這也是我做學問的感想。

當初完成卡拉比猜想之后,我引用了晏幾道的兩句詞“落花人獨立，微雨燕雙飛”。以此來形容自己的心情。我打算解決卡拉比猜想的時候，沒有人同意這個猜想是對的。“落花人獨立”說的是，我獨立地完成它、欣賞它，覺得很滿意。而“微雨燕雙飛”，是描述我的感覺，覺得自己與大自然融合在一起。

我想，做一流學問的學者都有類似感受，這就像畫家完成一幅漂亮圖畫之后的心境。我也堅持要鼓勵年輕的學者，好好地想，學好的學問、問好的問題，為探索大自然的奧秘努力，為尋找大自然中的規(guī)律而探討學問。